책소개
수학에게 묻다.
“왜 그렇게 할까? 왜 그렇게 하면 문제가 풀릴까?”
수학의 많은 부분은 “문제를 푸는 방법”을 배우는 것이다.
하지만 그 누구도 왜 그렇게 푸는지, 왜 그렇게 하면 풀리는지 알려주지 않았다.
그 누구도 답해주지 않았던 , 수학에 대한 근본적인 물음에 대답한다!
첫 번째 질문: 수학을 쉽게 배울 순 없을까?
“학문에는 왕도가 없다.”
과연 그럴까? 모든 변화의 시작은 작은 의문, 작은 질문에서 시작한다.
“과연 현재 수학을 배우는 방법이 최선인가?”
사람들이 수학을 어려워하는 이유의 하나는 수학을 자신과는 동떨어진 전문적인 분야라고 생각하는 데 있다. 하지만 그렇지 않다.
“나는 철수를 좋아해. 나는 영희를 좋아해. 나는 민정이를 좋아해”
앞의 문장을 간단하게 정리해보자. 누구나 쉽게 할 수 있다. “나는 철수, 영희, 민정이를 좋아해.”
다음의 수식을 정리해보자.
ax+bx+cx
잘 모르겠다면 이렇게 물어보자. 무엇이 반복되고 있는가?
ax+bx+cx=(a+b+c)x
두 번째 질문: 도대체 왜 그렇게 하는 건데?
왜 <제곱해서 2가 되는 양수>를 sqrt(2) 라고 쓰는데?
왜 1/(sqrt(2)-1)은 왜 굳이 분모를 유리화해서 sqrt(2)+1로 바꾸는 건데?
왜 곱셈은 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙이 성립하는데?
왜 방정식은 양변에 같은 수를 더하거나 빼고, 곱하거나 나눠서 푸는데?
왜 인수분해를 할 때에는 최고차항이 가장 낮은 변수의 내림차순으로 정리를 하는데?
두 양수의 기하평균이 산술평균보다 항상 작다는 것을 수식없이 보여줄 수 없을까?
학교 교육은 이런 질문에 답해 주지 않았고, 학생들의 다양한 질문에 대답해 줄 수 없었다.
세 번째 질문 : 그래서 수학의 핵심적인 사고 방법이 무엇인가?
반복되는 것은 합쳐라! 그럼 문제가 간단해 질 것이다.
2x+3x+5x=3에서 반복되는 부분을 합쳐보자. 2x+3x+5x=(2+3+5)x=10x. 따라서 2x+3x+5x=3은 10x=3으로 나타낼 수 있다. 간단한 문제는 복잡한 문제보다 쉽기 마련이다!
공통점을 확인하라. 없다면 만들어라.
방정식 은 어떻게 푸는가? 잘 모르겠다면 이렇게 바꿔 써보자. x+2=5+2에서 x에 어떤 수를 대입해야 등식이 성립하겠는가? 좌변과 우변의 공통점을 확인하자. 양변에 모두 +2가 있다!
sqrt(172)와 13의 대소를 비교해 보자. 잘 모르겠다면 이렇게 바꿔보자. 13=sqrt(13^2)=sqrt(169). sqrt(172)와 sqrt(169)의 대소를 비교해 보자.
무엇을 알고 있는가? 그것을 어떻게 활용할 것인가?
2x+3=2x+1을 풀어 보자. 정리해보면 0x=-2가 된다. x가 사라진다. 만약 등식의 양변에서 어떤 변수의 계수가 같다면, 그 변수는 사라진다!
연립 방정식 x+y-2=0, 2x-y+1=0에서 x를 사라지게 하려면 어떻게 해야 할까?
저자소개
서울에서 태어나 줄곧 서울에서 학교를 다녔다.
”수학의 놀라움은 쉽게 알 수 없는 사실을 논리적으로 밝혀낸다 것이었다. 그 논리를 따라가면 어쩔 수 없다. (평면 위의) 모든 삼각형의 내각의 합은 180도이고, 모든 직각삼각형은 피타고라스의 정리를 따른다.“
하지만 학교 수업에 불만이 많았다. ‘컴퓨터가 인수분해, 미분, 적분을 척척 해내는 21세기에 우리가 배워야 할 것은 수학적 지식이 아니라 수학적 사고 능력이 아닌가?’
그래서 시대의 요구에 부합하는 수학책의 집필을 시작한다. 그리고 10여 년이 흘렀다. 대학원 수학교육심리학 수업에서 현직 중고등학교 선생님과의 토론을 통해 책의 완성도를 높였다. 출판사의 요구로 일반 독자가 어려워할 만한 부분은 과감하게 삭제했다. 이번 책에서 미처 다 담지 못한 내용을 가지고 <수학의 숨은 원리, 제 2권>을 계획하고 있다.
- 서강대학교 대학원 강사
- 서울대학교 인지과학 박사
- 서울대학교 물리학 학사
목차
들어가기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
기하
직사각형의 넓이. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
직사각형의 넓이와“ 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙” . . . . . . . . . . . . . 9
직각삼각형의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
다양한 모양의 삼각형의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
피타고라스의 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
좌표평면 위 삼각형의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
수와 연산
수 표기하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
더 큰 수 표기하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
제곱해서 2가 되는 양수는 어떻게 표기할 것 인가? . . . . . . . . . . . . . . 27
분수와 소수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
많은 수을 지칭하기: 조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
도대체√ 2는 무엇인가?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
대범한 시도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
귀류법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
허수 I의 출현 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
(?1) × (?1)은 왜 1인가? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1을 0으로 나누면? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
제곱근을 포함한 두 수의 대소 비교1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
제곱근을 포함한 두 수의 대소비교2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
제곱근을 포함한 두 수의 대소 비교3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
분모의 유리화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
대수
변수를 활용하기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
변수를 포함한 식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
자연수의 덧셈(결합법칙과 교환법칙). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
항등식을 증명하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
대수: 방정식
방정식: 들어가기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
양변에 공통적인 요소를 확인한다 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
조금 복잡한 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
더욱 복잡한 예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
반복되는 요소를 찾아서 없애라. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
미지수가 하나인 1차 방정식: 양변에 같은 연산하기. . . . . . . . . . . . . 104
미지수가 하나인 1차 방정식: 양변에 같은 연산하기 2 . . . . . . . . . . . . 106
역원 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
미지수가 하나인 1차 방정식: 부정 또는 불능 . . . . . . . . . . . . . . . . 109
미지수가 하나인 1차 방정식: 정리. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
연립 1차 방정식: 연결점을 설정하자. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
연립 1차 방정식: 연결점 x + y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
연립 1차 방정식: 연결점 설정의 고려사항 . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
연립 1차 방정식: 연결점 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
미지수가 두 개인 연립 1차 방정식: 양변에 같은 연산하기 . . . . . . . . . 120
미지수가 두 개인 연립 1차 방정식: 마무리 . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
미지수가 3개인 연립 1차 방정식: 연결점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
동치 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
동치와 사칙연산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
동치와 연립 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2차 이상의 방정식. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2차 이상의 방정식 풀기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
대수: 인수분해
인수분해: 들어가기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
갤러리: 다항식의 그래프. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
인수분해의 기초: 반복되는 요소를 찾아라. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1차 다항식의 인수분해: (부분적으로) 반복되는 요소를 찾아라 . . . . . . . 150
인수분해와 변수의 개수. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
변수가 하나인 3차 다항식의 인수분해: 계수의반복 . . . . . . . . . . . . 158
계수에서 공통요소를 찾아라(변수가 하나인 3차 다항식) . . . . . . . . . . 162
문제를 푸는 2가지 방법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
변수가 하나인 2차 다항식의 인수분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
변수가 하나인 2차 다항식의 인수분해: 실수 계수 . . . . . . . . . . . . . . 172
변수가 하나인 2차 다항식의 인수분해: 방정식의 해. . . . . . . . . . . . . 175
인수분해와 방정식의 해. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
공식의 재활용: “변수+상수” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
변수가 하나인 3차 다항식의 인수분해: 복습. . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3차 다항식의 인수분해: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
변수가 둘인 3차식의 인수분해 공식 유도 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
변수가 둘인 3차식의 인수분해 공식 유도 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
의 인수분해 공식 유도 . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
변수가 하나인 4차 다항식의 인수분해: 복이차식 1 . . . . . . . . . . . . . 190
변수가 하나인 4차 다항식의 인수분해: 복이차식 2 . . . . . . . . . . . . . 193
변수가 하나인 4차 다항식의 인수분해: 반복적인 계수 . . . . . . . . . . . 198
변수의 개수를 줄이자 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
변수의 개수를 줄이자 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
최고차수를 줄이자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
대수: 부등식
미지수가 하나인 1차 부등식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
부등식과 음수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
미지수가 하나인 1차 부등식의 해법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
2차 이상의 부등식. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
미지수가 하나인 2차 부등식의 해법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
산술평균, 기하평균 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
산술평균, 기하평균 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
에필로그
